pi/4 et sqrt(2) en dyadique

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Posted by: busard_des_roseaux

bjr,


les propriétés des développements dyadiques (en base 2) des réels \frac{pi}{4} et sqrt{2} sont mal connus.

est-ce que l'on pourrait tirer parti des courbes suivantes:

la courbe de f(x)=\sqrt{1-x^2} sur [0;1] est un quart de cercle . Dans le pavé [0;1]x[0,1] l'aire sous la courbe vaut \displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{i \geq 1} \, \frac{\epsilon_{i}}{2^i}
en dyadique,
et l'aire au dessus de la courbe vaut 1-\frac{\pi}{4}
donc le complemént à 1 de l'aire précédente, soit
\displaystyle \sum_{i \geq 1} \, \frac{1 - \epsilon_{i}}{2^i}

Ensuite, on peut découper le pavé [0;1]x[0;1] en pavés dyadiques
[k 2^{-n}, (k+1)2^{-n}] sur l'axe des x et l'axe des y,
d'aires 4^{-n}

Une somme finie de tels pavés va approcher les aires en dessous et au dessus de la courbe.

l'idée, c'est que la courbe fait jouer un rôle identique aux 0 et aux 1
du développement dyadique de \frac{\pi}{4}
et que le comportement asymptotique des 0 et des 1 , leur répartition
est donné par l'allure de la courbe.

En effet, les "1" du développement en série (restes à partir d'un certain rang) correspond à la mesure d'aire entre la courbe de f et une fonction en escalier d'intégrale une somme finie de pavés (en dessous) .idem pour les "0" au dessus. l'aire au dessus de la courbe est mesurée de la même façon, seuls les "0" sont pris en compte à cause du complément à 1.


Le problème c'est de quantifier tout cela.

Pour les décimales dyadiques de \sqrt{2}, une fonction qui peut remplacer f(x)=\sqrt{1-x^2} est
g(x)=\frac{1-\cos(\pi x)}{3+\cos(\pi x)}
croissante de 0 à 1 sur le pave [0;1]x[0;1].

en effet \displaystyle \sqrt{2}-1 = \int_{0}^{1} \, \frac{1-\cos(\pi t)}{3+\cos(\pi t)}dt
Cette courbe présente un point d'inflexion et deux tangentes
horizontales.

Le comportement asymptotique des 0 et des 1 du développement dyadique de \sqrt{2} est donnée par l'allure de la courbe de g.

On peut subodorer que le développememnt dyadique de \sqrt{2}
est plus complexe que celui de \frac{\pi}{4}
car la courbe de g est plus complexe que celle de f, en particulier elle change de concavité.

???


en tous cas, si vous avez différentes fonctions h:

h monotone
h(0)=0
h(1)=1
\displaystyle \int_{0}^{1} h(t)dt = \sqrt{2}-1

, je suis preneur, pour voir ce que les courbes de ces fonctions ont de commun.










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