4 points coplanaires, 1ere S

[The Rapace]

Bonjour, je voudrais savoir les methodes pour prouver que 4 points sont coplanaires. Je sais comment prouver que 3 vecteurs sont coplanaires a partir de 4 points coplanaires mais prouver que ces 4 points sont eux meme coplanaires.

C'est peut etre un peu vague donc je vais directement mettre l'énnoncé de l'exercice :

ABCD est un tetraedre.
I es le milieu de [AB] et J celui de [AC]. K est le centre de gravité du triangle BCD et Lle sympetrique de D par rapport à A.

2. a) Ennoncer ue propriété caracteristique de trois vecteurs coplanaires.
b) Avec la relation établie en 1.b), demontrer que les points I,J,K,L sont coplanaires.

Sachant que la question 1.b) est : 2 vLI + 2 vLJ - 3 vLK = O.

Merci de me donner quelques pistes.

:hein:

[hellow3]

2.a.
Un vecteur peut s'écrire comme la somme des 2 autres.

b.
2 vLI + 2 vLJ - 3 vLK = O.
vLK = 2/3 vLI + 2/3 vLJ

[The Rapace]

Cela suffit a prouver que les 4 points sont coplanaires ? merci

[hellow3]

Oui.

Si tu considère le repère (O,i,j,k); et le point A(2,1,0).
OA=2i+j
A appartient au plan (O,i,j)

[The Rapace]

D'accord merci beaucoups.

J'au une derniere question à resoudre. Aprés avoir prouver que ces 4 sont coplanaires. Il faut en deduire la section du tetraedre ABCD par le plan (IJK) et preciser sa nature. Merci

[hellow3]

Dans le triangle BCD,
soit la parallele à BC qui passe par K. Ele coupe BD en N et DC en P.
M milieu de [BC].

thales vectoriel:
DK=2/3DM (definition du centre de gravite).
NK=2/3BM
KP=2/3MC
donc NP=NK+KP=2/3BM+2/3MC=2/3BC
NP=2/3BC

Dans le triangle ABC, thales vectoriel:
IJ=1/2BC soit BC=2IJ

On a donc: NP=2/3BC=2/3 * 2IJ=4/3IJ
Comme le vecteur IJ appartient au plan (IJK), NP appartient aussi a ce plan, comme K qui appartient à[NP] appartient au plan (IJK) on a N et P qui appartiennent au plan (IJK).

Donc la section du tetraedre par (IJK) est le quadrilatere IJPN ou le vecteur NP=4/3IJ.
C'est donc un trapeze.

[The Rapace]

Merci bien ! :++: :++: