44..4 divisible par 1996?

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Posted by: Borissou

Soit A=4.....4 (un nombre avec que des 4; ex: 44444)
Chercher un A tel que A soit divisible par 1996

Voici un problème posé par mon prof de maths (je suis en seconde :p ), on peut apparemment demander l'aide de qui on veut, il n'est pas à la portée du commun des mortels
Mais, j'ai toute confiance en cette communauté ^^

Bon courage! =)


Posted by: Clembou

Citation:
Posté par Borissou
Soit A=4.....4 (un nombre avec que des 4; ex: 44444)
Chercher un A tel que A soit divisible par 1996

Voici un problème posé par mon prof de maths (je suis en seconde :p ), on peut apparemment demander l'aide de qui on veut, il n'est pas à la portée du commun des mortels
Mais, j'ai toute confiance en cette communauté ^^

Bon courage! =)


On peut résoudre ça par les congruences en décomposant A avec des puissances de 10


Posted by: ffpower

En seconde,ca semble chaud quand meme lol(c est un oral d ulm je crois,je l avais dans un des cassini "oraux x-ens")


Posted by: Clembou

Citation:
Posté par ffpower
En seconde,ca semble chaud quand meme lol(c est un oral d ulm je crois,je l avais dans un des cassini "oraux x-ens")


Ah pardon ! J'avais pas vu qu'il était en seconde


Posted by: Borissou

Je vous rassure ce n'est pas du programme, juste un probleme posé par le prof pour hum... calmer la classe xD


Posted by: _-Gaara-_

Cela devrait se faire par programmation non ? xD


Posted by: ffpower

Si tu tiens vraiment aune reponse:A est divisible par 1996 si et seulement si le nb de 4 dans A est un multiple de 498.La methode n est pas ultra compliquée mais pas niveau seconde..


Posted by: Imod

En fait il "suffit" de trouver u_n=111...111 ( n fois le chiffre 1 ) et u_m=111...111 ( m fois le chiffre 1 ) ayant le même reste dans la division par 499 . Alors si m>n , 4.u_{m-n} vérifie la condition

Imod


Posted by: _-Gaara-_

J'en suis arrivé à la même conclusion, j'ai fais un programme pour trouver les restes dans les divisions par 499 mais c'est pourri çà ne marche pas >.<

=)


Posted by: Imod

On doit pouvoir s'en sortir en remarquant ( sans le dire ) que 1000\equiv 2 [mod\ 499] .

Imod


Posted by: ffpower

Si le but es juste d en trouver un,il suffit de connaitre Fermat,qui peut eventuellement se montrer en seconde:si p est premier,par reccurence sur a on montre que p divise a^p-a(faut juste connaitre la formule du binome et le fait que C(p,k) est divisible par p).Apres il suffit d utiliser le resultat avec p=499 et a=10.Si on veut toutes les solutions,il faut par contre savoir que (Z/pZ)* est cyclique,ce qui est un peu plus compliqué.


Posted by: Patastronch

Citation:
Posté par _-Gaara-_
J'en suis arrivé à la même conclusion, j'ai fais un programme pour trouver les restes dans les divisions par 499 mais c'est pourri çà ne marche pas >.<

=)


NOrmal, les nombres manipulés sont trop grand. Un entier en informatique c'est codé sur un petit nombre d'octet (4 générallement). Si tu veux manipuler des grands nombres il va te falloir utiliser des librairies fait pour ou répartir l'ecriture ton entier sur plusieurs entier et adapter tes calculs en conséquence.


Posted by: Borissou

Voici la réponse :

- 1996 = 499 * 4, 499 est premier
- 4...4 = 1...1 * 4. En simplifiant par 4 on cherche donc 1..1 = k * 449, ou encore 1..1 = 0 (mod 499)
- 1...1 = 1 + 10 + 100 + ... + 10^(n-1) = (10^n - 1) / 9, où n est le nombre de chiffres du nombre
- On cherche donc n tel que (10^n - 1) / 9 = 0 (mod 499), ou encore 10^n - 1 = 0 (mod 499)
- D'après le petit théorème de Fermat, 498 convient


Posted by: ffpower

c est ca^^










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