Mathématiques - Pi/4=5arctan(1/7)+2arctan(3/79)

Pi/4=5arctan(1/7)+2arctan(3/79)
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Posted by: thibo777

Bonjour à tous !
Alors voila mon probleme: montrer que Pi/4=5arctan(1/7)+2arctan(3/79)..

Pas mal de personnes ont cherchés ce probleme, mais jusque la je n'ai vu personne reussir.

Ma premiere idée etait de passer a tan(Pi/4)=tan[ 5arctan(1/7)+2arctan(3/79) ]
Par tan(a+b)= [tan(a)+tan(b)]/ [1+tan(a)tan(b)] j'obtiens une nouvelle forme...
Mais voila ca fait des tan(5*arctan(1/7)) et tan(2arctan(3/79))....

S'il vous plait aidez moi, je sais vraiement pas quoi faire avec ca...
A tous merci beaucoup d'avance !!!

Posted by: tize

A vue de nez (je ne sais pas) mais cela ressemble beaucoup à la formule de Machin : ici
A quelques modifications près...

Posted by: thibo777

oui je n'avais jamais entendu parler de Machin, mais comment démontrer cette égalité ?

Posted by: Jacques COLLOT

Cette formule a été trouvée par Euler en 1755
Voir

http://s146372241.onlinehome.fr/web....net/machin.php

Voir aussi dans "Le fascinant nombre pi" de Jean-Paul Delahaye un tas d'explications sur les démonstrations des formules d'arctan.

Jacques

Posted by: thibo777

Oui c'est bien cela, j'avais d'ailleur aussi consulté cet excelent site sur Pi, mais ce que je n'ai jamais pu trouver c'est la démonstration de cette formule d'Euler...

Posted by: Jacques COLLOT

Voici la solution
Cette méthode s'applique à la plupart des formules en arctan

Le début est repris du livre déjà mentionné plus haut.
Pour démontrer les formules de décomposition de pi/a en somme d'arc tangentes, la méthode la plus simple consiste à utiliser plusieurs fois de suite la relation

$\tan \left( {a + b} \right) = {{\tan a + \tan b} \over {1 + \tan a\tan b}}$

Etablissons par exemple la formule suivante, qui étatit déjà connue d'Euler
$\arctan {1 \over n} = \arctan {1 \over {n + p}} + \arctan {p \over {n^2 + np + 1}}$

Pour cela, on calcule
$\tan \left( {\arctan {1 \over {n + p}} + \arctan {p \over {n^2 + np + 1}}} \right)$

$= \frac{{\frac{1}{{n + p}} + \frac{p}{{n^2 + np + 1}}}}{{1 - \frac{1}{{n + p}}.\frac{p}{{n^2 + np + 1}}}}$

$\; = \frac{{n^2 + np + 1 + np + p^2 }}{{n^2 + n^2 p + n + n^2 p + np^2 + p - p}} = \frac{1}{n}$

On par maintenant de pi/4 = arctan 1/1 , et on applique un ceratin nombre de fois la fomule ci-dessus. On aura successivement
$\begin{array}{l} \frac{\pi }{4} = \arctan \frac{1}{1} \\ \;\;\; = \arctan \frac{1}{7} + \arctan \frac{3}{4} \\ \;\;\; = 2\arctan \frac{1}{7} + \arctan \frac{{17}}{{31}} \\ \;\;\; = 2\arctan \frac{1}{7} + \arctan \frac{3}{{79}} + \arctan \frac{1}{2} \\ \;\;\; = 3\arctan \frac{1}{7} + \arctan \frac{3}{{79}} + \arctan \frac{1}{3} \\ \;\;\; = 4\arctan \frac{1}{7} + \arctan \frac{3}{{79}} + \arctan \frac{2}{{11}} \\ \;\;\; = 5\arctan \frac{1}{7} + 2\arctan \frac{3}{{79}} \\ \end{array} $

Voilà j'espère que cela répond à la question.

Jacques