2002^2002

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Posted by: aviateurpilot

salut
trouve la valeur minimal de t pour qu'ils existent des entiers x_1,x_2,..,x_t tel que :

{x_1}^3+{x_2}^3+..+{x_t}^3=2002^{2002}


Posted by: aviateurpilot

vous n'avez pas de solution?


Posted by: aviateurpilot




Posted by: BiZi

x1^3+x2^3+...+xt^3=(x1+x2+...+xt)² (inégalité classique qu'on prouve par récurrence, pour t>1).

Pour t=1, on cherche un x tel que x^3=2002^2002;

Comme 2002=2*7*11*13, on a

2002^2002=2002=(2*7*11*13)^(2*7*11*13). Comme 3 ne divise pas 2*7*11*13, il est impossible que x^3=2002^2002.

Donc t>1.

D'où x1+x2+...+xt=2002^1001 ou =-(2002^1001).

Pour x1=(2002^1001)/2 et x2=2002^1001)/2, on a bien le résultat voulu.

Donc la valeur minimale de t est t=2.

Enfin ca me paraît un peu bizarre comme exercice C'était ca qu'il fallait trouver?


Posted by: Quidam

Citation:
Posté par BiZi
x1^3+x2^3+...+xt^3=(x1+x2+...+xt)² (inégalité classique qu'on prouve par récurrence, pour t>1).


D'où sors-tu cela ? On sait que \Large 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2
mais \Large x_1^3+x_2^3+...+x_t^3 n'est pas toujours égal à \Large(x_1+x_2+...+x_t)^2
Par exemple, si \Large x_1=1 et \Large x_2=3, alors \Large x_1^3+x_2^3 = 1+27=28 qui n'est pas égal à \Large (1+3)^2=16

D'ailleurs, ta solution \Large x_1=\frac{2002^{1001}}{2} et \Large x_2=\frac{2002^{1001}}{2} ne semble pas en être une :

\Large x_1^3+x_2^3 > x_1^3 = \frac{2002^{3003}}{8}

et

\Large (x_1+x_2)^2 = 2002^{2002}

Je crois qu'il n'y a pas photo !

...ou alors, je ne suis pas bien réveillé...


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par bizi
(inégalité classique qu'on prouve par récurrence, pour t>1).

c'est pas une inégalité, c'est une egalité
et en plus c'est pas vraie


Posted by: aviateurpilot

je vous donne un indice en se basant par ma solution d'un autre probleme
http://www.maths-forum.com/showthre...?t=14504&page=3 =>
Citation:
Posté par aviateurpilot
soit n de Z
telque n\equiv r [6]

il existe une infinite de x tel que x^3\equiv r [6]
donc il existe une infinité de k tel que

n=x^3+6k
et on a 6k=(-k)^3+(-k)^3+(k+1)^3+(k-1)^3
donc n=x^3+(-k)^3+(-k)^3+(k+1)^3+(k-1)^3
puisqu'il y a une infinité de k
alors on peut l'ecrire n d'une infinité de façon sous forme d'une somme de 5 cubes

c'est pas tres difficile


donc t\le 5


Posted by: BiZi

Alors là désolé! J'ai totalement fumé mdr pardon. En fait j'avais lu dans ma tête "2002^2002=1^3+2^3+...+n^3". C'est pas bien d'avoir des réflexes comme ca c'est un obstacle à la créativité


Posted by: Mhdi

Citation:
il existe une infinite de x tel que x^3\equiv r [6]

pk?

P.S : Dsl de déterrer le sujet.


Posted by: lapras

salut
en fait c'est parce que les cubes prennent toutes les valeurs possibles modulo 6 : {0,1 , 2 , ...,5}


Posted by: Mhdi

Ah! Mais c'est quand même diabolique à trouver comme solution!
Comme par hasard, il a choisi 6 qui peut être écrit comme la somme de 4 cubes
et qu'il y a une infinité de x tel que x^3\equiv r [6]
Qu'est ce qui peut mettre sur la voie?


Posted by: lapras

En fait par fermat
x^3 = x [3]
et évidemment
x^3 = x [2]
x^3 = x [6]
donc tu as bien tous les résidus pris
apres trouver 6k comme somme de 4 carrés on va dire que faut juste cherche un peu.
Pour trouver l'idée fallait, je pense, essayer de réduire le nbre de cube dans la somme : 4 au lieu de 5 cubes.
donc on se demande si il existe justement un a tel que
x^3 = x [a]
et on trouve facilement 6 solution










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