[1°S] Géométrie dans l'espace - vecteurs

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
bordy26
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[1°S] Géométrie dans l'espace - vecteurs

par bordy26 » 07 Nov 2009, 22:26

Bonjour à tous j'ai un DM de maths à rendre et je suis un peu perdue, j'espère que vous pourrez m'aider. J'ai un problème à la question 4. Voici l'énoncé :

Soit ABCD un tétraèdre. Soit E F et G trois points tels que (ce sont des vecteurs mais je sais pas comment mettre la flèche)
AE = 1/4 AB
AF = 1/2 AC
AG = 3/4 AD

On se place dans le repère (A ; AB;AC;AD)
1/Placer les points E F G sur un dessin et déterminer leurs coo.
2/ SOit M(x;y;z) un point du plan (EFG)
a/ Justifier qu'il existe deux nombres a et b tels que (encore des vecteurs) EM = a EF + b EG
b/ Traduire de cette relation un système portant sur les coo des vecteurs.
c/ Montrer que les coo de M vérifient l'équation x + 1/2y + 1/3z -1/4 =0

3/ Soit M(x;y;z) un point du plan (BCD)
a/ Justifier qu'il existe deux nombres p et q tels que (encore des vecteurs) BM = p BC + q BD
b/ Traduire de cette relation un système portant sur les coo des vecteurs.
c/ Montrer que les coo de M vérifient l'équation x + y+ z - 1 = 0

4/ Soit D la droite d'intersection des plans (BCD) et (EFG)
a/ Construire la droite D après avoir déterminé 2 points communs à ces deux plans.
b/ Calculer les coordonnées du point Q intersection de D avec le plan (ABC)

5/ on admettra que le point d'intersection R de D avec le plan (ABD) a pour coordonnées ( -1/8 ; 0 ; 9/8) et que le point d'intersection V de D avec le plan (ACD) a pour coordonnées ( 0 ; -1/2 ; 3/2). Vérifier que Q R V sont alignés.


J'ai tout réussi jusqu'à cette question 4 où je ne vois pas trop comment faire et ça me bloque pour la 5 où j'aurais besoin des coo de Q pour montrer la colinéarité des vecteurs.

pouvez-vous m'aider?

Merci



bombastus
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par bombastus » 07 Nov 2009, 23:19

Salut,

tu cherches les coordonnées du point qui appartient aux plans (BCD), (EFG), et (ABC). D'après les questions 2 et 3, tu sait que ce point vérifie les équations :
x + 1/2y + 1/3z -1/4 =0
x + y+ z - 1 = 0

En copiant la méthode utilisé pour les questions 2 et 3, il faut que trouves une troisième équation en considérant que le point appartient aussi au plan ABC. Tu auras alors un système de 3 équations à 3 inconnues qu'il faudra résoudre.

bordy26
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par bordy26 » 08 Nov 2009, 00:12

Soit Q un point du plan (ABC)

AQ , AB et AC (AB et AC non colinéaires) sont coplanaires donc il existe des réels m et n tels que

{ x(AQ) = mx(AB) + nx(AC)
{ y(AQ) = my(AB) + ny(AC)
{ z(AQ) = mz(AB) + nz(AC)


J'obtiens le système

{ x = m
{ y = n
{ z = 0

Et je sais pas comment arriver à une équation vérifiant les coordonnées de Q.

bombastus
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par bombastus » 08 Nov 2009, 00:40

bordy26 a écrit:J'obtiens le système

{ x = m
{ y = n
{ z = 0

Et bien ça y est, tu as l'équation du plan (ABC) : z=0

bordy26
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par bordy26 » 08 Nov 2009, 14:07

J'ai résolu le système S

{z=0
{x + 1/2y + 1/3z -1/4 =0
{x + y +z - 1 = 0

Et j'obtiens les coordonnées de Q

Q( -1/2 ; 3/2 ; 0 )

C'est bien ça?

bombastus
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par bombastus » 08 Nov 2009, 14:27

Tu peux vérifier en remplaçant x,y et z dans tes équations...

bordy26
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par bordy26 » 08 Nov 2009, 15:01

Ah super ça marche =D

Merci de m'avoir aidée !

 

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