E = 1/2 mv2

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Posted by: coperniq

L’énergie, dite cinétique, associée au mouvement d’un objet de masse “m” et de vitesse “v” vaut

E = 1/2 mv2

J'aurai cette question, pourquoi donc, dans ce cette equation comme dd'ailleur dans beaucoup d'autres en physique, on éleve souvent la vitesse au carré?

Merci beaucoup.


Posted by: LEFAB11

Si une voiture roule trois fois plus vite alors sa distance de freinage sera neuf fois plus longue


Posted by: guigui51250

Citation:
Posté par coperniq
L’énergie, dite cinétique, associée au mouvement d’un objet de masse “m” et de vitesse “v” vaut

E = 1/2 mv2

J'aurai cette question, pourquoi donc, dans ce cette equation comme dd'ailleur dans beaucoup d'autres en physique, on éleve souvent la vitesse au carré?

Merci beaucoup.


Si tu avais regardé l'émission E=mc² sur Arte hier soir tu aurais eux la réponse. Un bon exemple y a été donné : le cas de la voiture que LEFAB11 à souligné.


Posted by: coperniq

Merci pour vos réponses.

J'avais deja vu ce doc mais j'avou ça fait un moment.

Mais disons ma question est plus large, est ce que par exemple même lorsque que l'on retrouve c² dans des equations, cela découle de ce principe?

Genre par exemple e=mc², est ce que la constante c est au carré du fait de ce principe?

Merci.


Posted by: guigui51250

Citation:
Posté par coperniq
Merci pour vos réponses.

J'avais deja vu ce doc mais j'avou ça fait un moment.

Mais disons ma question est plus large, est ce que par exemple même lorsque que l'on retrouve c² dans des equations, cela découle de ce principe?

Genre par exemple e=mc², est ce que la constante c est au carré du fait de ce principe?

Merci.

euh bah je pense que oui mais je ne te garantie rien car je n'ai encore jamais étudié cette équation de très près


Posted by: coperniq

Personne pourrait expliquer svp, ça serai cool.

Merci.


Posted by: coperniq

vraiment personne???


Posted by: obi76

Il y a beaucoup de réponses à ta question.

La première : une énergie c'est des Joules [J] = [kg m^2 s^{-2}].
Une énergie cinétique (comme son nom l'indique) dépend de la masse et de la vitesse.
On voit évidement que la masse sera à la puissance 1 et la vitesse à la puissance 2.

Pour aller plus dans le détail, on sait que l'énergie d'un objet est E=mc^2=\gamma m_0 c^2, avec \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} le facteur de Lorentz.

Un développement limité du premier ordre de cette expression te donnera :

E = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m v^2 + O(v^3).

En espérant avoir été assez clair ;)


Posted by: Dominique Lefebvre

Citation:
Posté par coperniq
L’énergie, dite cinétique, associée au mouvement d’un objet de masse “m” et de vitesse “v” vaut

E = 1/2 mv2

J'aurai cette question, pourquoi donc, dans ce cette equation comme dd'ailleur dans beaucoup d'autres en physique, on éleve souvent la vitesse au carré?

Merci beaucoup.

Bonsoir,
Avant de répondre à ta question, je voudrais que tu précises à quelle(s) formule(s) contenant des vitesses au carré tu fais allusion...
C'est important car la présence d'une vitesse élevée au carrée peut avoir plusieurs raisons, très différentes selon la nature de la physique en cause...

En passant, expliquer la présence d'un carré en se référent à l'analyse dimensionnelle est assez amusant! Pourquoi l'expression de la surface comprend un carré? Parce que la surface d'exprime en m²...

Notons aussi que l'introduction de E=mc² et du facteur de Lorentz s'expliquent pas non plus la présence du carré....

Bref, prenons les choses dans l'ordre: dans quelles équations, à part l'expression de l'énergie cinétique, trouves-tu une vitesse élevée au carré?


Posted by: obi76

Citation:
Posté par Dominique Lefebvre
En passant, expliquer la présence d'un carré en se référent à l'analyse dimensionnelle est assez amusant! Pourquoi l'expression de la surface comprend un carré? Parce que la surface d'exprime en m²...


Certes, mais une énergie ça peut être plein de choses qui ont été définies, qui sont utilisées et qui fonctionnent très bien comme ça (force*longueur, puissance*temps etc).
Bref, une analyse dimenssionnelle lui motnre que si - par l'absurde - les vitesses n'étaient pas au carré il n'y aurai plus grand chose qui tiendrai debout.

Citation:
Posté par Dominique Lefebvre
Notons aussi que l'introduction de E=mc² et du facteur de Lorentz s'expliquent pas non plus la présence du carré....


La démonstration de E=mc² je me permet de la passer sous silence, mais en la considérant comme point de départ je viens de montrer que l'énergie cinétique est E=1/2 mv²... que faut-il de plus ?


Posted by: Dominique Lefebvre

Oui bon, on avance pas beaucoup...;

Reprenons l'histoire de l'expression de l'énergie cinétique. C'est Huygens qui le premier s'intéressa à la quantité mv². Avant lui Descarte avait exhibé le produit mv, la quantité de mouvement. Mais cette quantité a la mauvaise idée de dépendre du signe de v... Cela gênait beaucoup Huygens, qui cherchait une grandeur toujours positive (pour des raisons expérimentales dont on pourra reparler)!
Il n'alla pas beaucoup plus loin. C'est Leibniz qui vérifia par l'expérience la proportionalité de mv² et de mgh. Et enfin Young qui, en 1807, appela la quantité mv² "énergie".
La notion d'énergie cinétique a été introduite par Kelvin en 1849, selon la formule que nous connaissons aujourd'hui. Il relia l'énergie cinétique au mouvement d'un corps.

Voilà pour l'histoire, uniquement pour montrer que cette notion est une définition, qui n'est pas survenue subitement...

Voyons maintenant pourquoi une vitesse au carré...

Je vais supposer que tu es en première et donc que la notion de travail ne t'es pas étrangère.

Tu sais que la variation d'énergie cinétique entre le moment initial du mouvement et son moment final est égale au travail de la force qui provoque le déplacement de l'objet (c'est du cours, mais aussi la définition qu'en donne Lord Kelvin).
Donc, considérons un objet de masse m, qui se déplace sous l'effet d'une force F. Le travail W est égal au produit scalaire de F par le déplacement l, W = F.l OK?
Tu sais aussi que F = ma, si a est l'accélaration de l'objet, et donc que W = ma.l, tu me suis?
Le carré se cache ici, dans l'accélération!

Faisons un détour par la définition de la vitesse sur une trajectoire quelconque.
Tu dois savoir que v = a.t + v0 (je suppose l'accélération constante). De là, je peux écrire t = (v - v0)/a
La vitesse moyenne est par définition : vm = 1/2*(v0 + v) . Si j'appelle l la distance parcourue, je peux écrire l = vm*t = 1/2*(v0 + v)*t

Dans cette équation, je remplace t par sa valeur déduite ci-dessus, ce qui me donne : l = 1/2*(v + v0)*(v - v0)/a = (v - v0)*(v + v0)/2a = (v² -v0²)/2a. C'est l'expression que je voulais l = (v² -v0²)/2a et donc a*l = 1/2*v² - 1/2*v0²

Je reviens au travail et je reprends le résultat que je viens d'obtenir : W = ma*l = m*(1/2*v² - 1/2*v0²) = 1/2*mv² - 1/2*m*v0².

Tu retrouves une expression que tu connais...

La vitesse au carré provient donc de la définition d'une vitesse par rapport à l'accélération, l'endroit où j'ai écris v = at + v0. La vitesse est obtenue en intégrant l'accélération par rapport au temps (tu verras cela en terminale).

Evidemment, partout où tu trouveras directement ou indirectement une référence à l'énergie cinétique, tu trouveras une vitesse au carré.










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