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evn
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Posted by: kazeriahm

salut

voici un exo dont j'ai une solution mais je crois qu'on peut faire mieux

E est un evn complet et A un ouvert borné non vide de E tel que pour tout (x,y) dans A^2, il existe une boule B contenue dans A et contenant (x,y).

Montrer que A est une boule ouverte.

Si quelqu'un a une solution...

Posted by: Yipee

D'abord je pense que c'est plutôt $\{x,y\}$ qui est dans B non ?

Sinon, voici ma méthode. On essaye d'abord de déterminer cette boule et on le montre par double inclusion. On commence par remarquer que A est borné donc on peut définir $d = Sup_{(x,y)\in A^2}d(x,y)$ . De même, on peut définir des suites $(x_n)$ et $(y_n)$ telles que $d(x_n,y_n)$ tende vers d.

On pose alors $O_n$ le milieu de $[x_n,y_n]$ . Toutes ces suites sont bornées, on peut extraire de sorte à ce qu'elles convergent toutes. On note x,y et O les limites. On veut alors montre que A = B(O,r).

- $B(O,r) \subset A :$ il suffit de remarquer que par hypothèses, $B(O_,r_n) \subset A$ où $r_n = d(x_n,y_n)$ .
- $A \subset B(O,r):$ soit Z un point tel que d(Z,O) > r, on peut constuire des points $T_n \in A$ sur la droite (OZ) tels que
$\lim_{n \to +\infty} d(Z,T_n) > r$ ce qui est absurde.

Posted by: kazeriahm

bon c'est ce que j'ai fait modulo les différences de raisonnement (par exemple au lieu de considèrer tes suites (xn) et (yn) du début j'avais pris (an) tq B(a_n,R-1/n) contenu dans A avec R le sup des rayons tel qu'il existe une boule de ce rayon contenu dans A, on montre a_n de Cauchy,....) ca revient globalement au meme.